02-4：向量范数

矩阵论02-4：向量范数 1 向量范数现在对一般定义的范数进行推广，使其可以被自定义。定义：设V是数域F上的线性空间，如果对于V中任意一个向量x，都有一个实数∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣与之对应，且满足：正定：∣x∣≥0|x|\geq 0∣x∣≥0，仅当x=0x=0x=0时∣∣x∣∣=0||x||=0∣∣x∣∣=0齐次：∣∣kx∣∣=∣k∣⋅∣∣x∣∣||kx|| = |k|\cdot ||x||∣∣kx∣∣=∣k∣⋅∣∣x∣∣三角不等式：∣∣x+y∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣||x+y||\leq ||x||+||y||∣∣x+y∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣那么称∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣式向量空间V上的向量范数，定义了向量范数的线性空间称为赋范线性空间。记作(V,∣∣⋅∣∣)(V,||\cdot||)(V,∣∣⋅∣∣)。向量范数的性质:∣∣θ∣∣=0||\theta|| = 0∣∣θ∣∣=0∣∣∣∣x∣∣−1⋅x∣∣=1||||x||^{-1}\cdot x|| = 1∣∣∣∣x∣∣−1⋅x∣∣=1, ∣∣x∣∣≠0||x||\neq 0∣∣x∣∣=0∣∣−x∣∣...

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